Si par exemple, à la même distance de la Terre, on lâche deux objets immobiles au même instant, ils vont tomber vers le centre de la Terre, et par suite vont se rapprocher l'un de l'autre (voir figure)[17]. Ceci est illustré par la figure de gauche, qui montre une onde lumineuse progressivement décalée vers le rouge en remontant le champ de gravitation[7]. Dans un tel système, une des étoiles est un pulsar. Pour assurer la précision du système, les horloges des satellites sont ralenties par un facteur relativiste, ou alors ce facteur est pris en compte dans le calcul des positions. Le 14 septembre 2015, les chercheurs du LIGO annoncent avoir détecté directement des ondes gravitationnelles ; cette annonce est confirmée officiellement le 11 février 2016[39],[40], et le résultat est publié le jour même dans la revue Physical Review Letters[41]. En relativité générale, la métrique de l'espace-temps et le tenseur de courbure de Riemann sont des quantités définies en chaque point de l'espace-temps. Consid�rons une courbe d�finie par ses coordonn�es . Bien sûr, la solution la plus simple est l'espace de Minkowski, sans courbure, décrit par la relativité restreinte. Alors que le principe d'équivalence fait encore partie des exposés modernes sur la relativité générale, il y a des nuances entre la version moderne et le concept original d'Einstein, cf. La formule qui donne les composants du tenseur de Riemann est relativement complexe, nous la mentionnerons sans chercher � la d�montrer : Le tenseur de Ricci s�obtient par abaissement d�indice du tenseur de Riemann : Sur le plan math�matique, le tenseur de Ricci est le laplacien du tenseur m�trique. D'autres tentatives pour modifier la relativité générale ont été faites dans le cadre de la cosmologie. Au-delà des problèmes posés par les effets quantiques et les singularités cosmologiques, la recherche en relativité générale est remplie de possibilités d'explorations supplémentaires : les mathématiciens de la relativité explorent la nature des singularités et la nature exacte des équations d'Einstein[54], et des simulations d'espace-temps spécifiques sont effectuées sur ordinateur (comme celles de trous noirs tombant l'un sur l'autre)[55], et les avancées permises par l'observation directe d'ondes gravitationnelles se poursuivent[56]. La Relativité Générale n’impose plus aucune limite sur les observateurs : quelles que soit leurs vitesses relatives, ils sont pris en compte. 1 : En math�matiques, le laplacien d�une fonction mesure l��cart entre la valeur de cette fonction en un point et sa valeur moyenne au voisinage du point. Ces trois tests expérimentaux ont justifié l'adoption de la relativité générale plutôt que la théorie de Newton, et au passage, plutôt qu'un nombre de théories proposées comme alternatives à la relativité générale. L'information manquante est contenue dans la métrique, qui, définie en chaque point, décrit la relation entre différence de coordonnées et distance. En relativité restreinte, l'énergie est très liée avec la quantité de mouvement, que l'on nomme encore impulsion ou moment linéaire. Les équations d'Einstein sont le nœud central de la relativité générale. Par exemple, la transition d'un système de référence inertiel (dans lequel les particules libres se déplacent sur des lignes droites à vitesse constante) à un système en rotation (dans lequel des termes supplémentaires correspondant à des forces fictives doivent être introduits pour expliquer le mouvement des particules) : c'est analogue à la transition d'un système de coordonnées cartésiennes (dans lequel les lignes de coordonnées sont des lignes droites) à un système de coordonnées curvilinéaire (où les lignes de coordonnées n'ont pas besoin d'être droites). En l'absence de gravitation, et bien sûr d'autres forces, une particule test se déplace en ligne droite à vitesse constante. On peut �crire : Le th�or�me d�Euler-Lagrange permet de trouver ais�ment la trajectoire qui minimise la quantit� L. Elle est telle que : Si l�on choisit tel que cette equation se simplifie et on parvient apr�s quelques d�veloppements suppl�mentaires � l��quation des g�od�siques (voir plus bas) : Tenseur de Riemann, tenseur de Ricci et courbure scalaire. Sa prédiction était alors fausse par un facteur 2 : le calcul correct nécessite la formulation complète de la théorie de la relativité générale, et non simplement le principe d'équivalence[9]. Il nous indique que la trajectoire qui minimise est telle que : D�composons les deux termes de cette somme : Ceci permet de r��crire l��quation (b-3) : Le choix d�un param�tre tel que permet de simplifier cette �quation. C’est la formule de Planck, qui est à la base de la Mécanique Quantique. x = u avec u = (1;1;0;0) On a dx =d = u , u2= 0 et du =d = 0 : est un param etre a ne. Le premier effet nouveau est le décalage vers le rouge gravitationnel. Plusieurs physiciens, dont Einstein, recherchaient une théorie qui pourrait unifier la loi de la gravitation de Newton et la relativité restreinte. Nous avons rencontr� la m�trique de Minkowski dans les chapitres consacr�s � la relativit� restreinte. Einstein a formulé cette relation en utilisant le tenseur de courbure de Riemann et la métrique pour définir une autre quantité géométrique G, maintenant appelé tenseur d'Einstein, qui décrit certains aspects de la courbure de l'espace-temps. De plus, il existe des théorèmes sur les singularités de Stephen Hawking et de Roger Penrose, qui expriment la nécessité de ce type de singularité dans un univers soumis aux lois de la relativité générale, en l'absence de toute modification quantique. En particulier, pour dévier une particule test de sa trajectoire géodésique, il faut lui appliquer une force extérieure. Si donc la masse, et donc l'énergie, est la source de la gravitation, il faut, pour rester cohérent avec la relativité, que ce soit le quadri-moment, moment inclus, qui soit à la source de la gravitation. ∇ = … en relativité générale, à condition que le membre de droite de l'égalité ait aussi son équivalent dans cette théorie. Ainsi, la relativité générale explique l'expérience quotidienne de la gravitation à la surface de la Terre non pas comme l'attraction par une force gravitationnelle, mais comme une force fictive d'inertie analogue à celles évoquées. T Une généralisation de la relativité générale avec torsion existe, c’est la théorie d’Einstein-Cartan. Ce sont des ondes de distorsion de la géométrie de l'espace, qui se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière. En explorant l'équivalence entre gravitation et accélération, y compris le rôle des effets de marée, Einstein a découvert plusieurs analogies avec la géométrie des surfaces. Il est � noter que l�on peut aussi utiliser la signature inverse. Cette force s'appelle le poids. Elles fournissent en langage mathématique une formulation précise de la relation qui existe entre la géométrie de l'espace-temps et les propriétés de la matière. Après avoir réalisé la validité de cette analogie géométrique, il a fallu trois ans à Einstein pour mettre au point les fondations de sa théorie : les équations qui relient la masse de la matière à la courbure de l'espace-temps. De façon plus précise, elle est due à une propriété bien définie des objets matériels : leur masse. Relativité Générale: Commission Cosmologie de la Société Astronomique de France, Avril 2002 . On r�sout ce probl�me en appliquant le th�or�me d�Euler-Lagrange. L'effet sur les couleurs est extrêmement exagéré sur la figure. Une surface sphérique comme celle de la Terre donne un exemple simple. Et certes, les effets gravitationnels d'une pomme sur un autre corps sont totalement négligeables par rapport à ceux qu'exerce la Terre. La recherche d'une version quantique de la relativité générale aborde l'une des questions ouvertes les plus fondamentales de la physique. Il existe une ambiguïté dans les équations d'Einstein, où l'on peut ajouter un terme appelé constante cosmologique, qui n'a d'effet qu'à très grande distance. On a détecté indirectement l'existence des ondes gravitationnelles en observant certaines étoiles binaires. Cette description, à son tour, avait été étendue à des espaces à plusieurs dimensions dans un formalisme présenté par Bernhard Riemann dans les années 1850. Essentiellement, ce principe énonce qu'une personne située dans une cabine, et qui ne ressent pas de pesanteur, ne peut pas détecter si la cabine est en chute libre ou s'il est suffisamment loin dans le cosmos pour échapper à l'influence de toute source de gravitation[3]. Seule la théorie d'Einstein se montra compatible avec les expériences et les observations. Plus précisément, les calculs d'Einstein, décrits dans, Cet effet est une conséquence de la seule relativité restreinte, quel que soit le moteur de l'accélération : dans les deux situations, le décalage en fréquence se décrit comme un. Mais en 1974, cette perte d'énergie a été observée dans un pulsar binaire (PSR 1913+16). La constante G N est la constante de gravitation introduite par Newton[23], c est la vitesse de la lumière, et π est la constante géométrique classique (rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle). En présence de gravitation, l'espace-temps est courbé, c'est-à-dire qu'il n'est plus un espace de Minkowski, qui est un analogue à 4 dimensions du plan d'Euclide, mais c'est un espace plus général, décrit par un analogue de la géométrie de Riemann. Plus concrètement, elles sont formulées en termes de géométrie de Riemann, où les propriétés d'un espace (ici, d'un espace-temps) sont décrites par une quantité nommée métrique. En supposant que la Terre soit une sphère parfaite, une géodésique serait alors un arc de grand cercle, comme un méridien ou l'équateur. À l'opposé de toutes les autres théories modernes des interactions fondamentales, la relativité générale est une théorie classique : elle ne comprend pas les effets de la mécanique quantique. Dans un tel système d'étoiles, deux étoiles très compactes (étoiles à neutrons) tournent autour d'un centre commun. Dans le cas d'un pulsar double, la relativité générale prédit des déviations caractéristiques du rythme de ces impulsions. De façon semblable, Einstein a prédit la déflexion de la lumière par un champ gravitationnel : dans un champ gravitationnel, la lumière est défléchie vers le bas. terpr etation int eressan te. Ce problème tourmentait les physiciens depuis quelque temps déjà. jx x0j T (x0;t 1 c jx x0j) : (9.21) A grandes distances du syst eme, r= jxj˛jx0j;on aura jx x0j1ˇr1et t1 c. En été 1912, inspiré par cette analogie, Einstein a recherché une formulation géométrique de la gravitation[11]. A chacune de ces étapes, j’exposerai les structures mathématiques que l’on associe à cet espace-temps en essayant d’expliquer pourquoi nous avons été obligé La d�riv�e simple et la d�riv�e covariante sont souvent not�es de la mani�re suivante : La pr�sence d�une virgule est la marque d�une d�riv�e simple, celle d�un point-virgule d�une d�riv�e covariante. Au moyen de cette géométrie de Riemann, Einstein a formulé une description de la gravitation dans laquelle l'espace-temps de Minkowski – qui peut être considéré comme plat – est remplacé par un espace-temps courbé, exactement comme les surfaces courbes sont une généralisation de la surface plane ordinaire[13]. Ecrivons la formule qui exprime la norme d�un vecteur. Il énonce pour cela deux postulats : Les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel galiléen (il reprend le principe de la relativité de Galilée). Pour y arriver, on a besoin d'une théorie qui décrit comment la matière (comme une grosse masse comme la Terre) affecte l'environnement inertiel autour d'elle. Ceci a deux conséquences : un pulsar est un objet extrêmement dense (une étoile à neutrons), ce qui lui permet d'être très proche de son compagnon, et d'autre part il émet un faisceau étroit d'ondes radio avec une très grande régularité. Elle g�n�ralise la notion de produit scalaire dans un espace courbe. x = ˙3u , et on v eri e que ˙ n’est pas un param etre a ne. Tout objet abandonné à lui-même (immobile par rapport au vaisseau) va tomber naturellement vers le bas, car il se fait rattraper par le vaisseau qui accélère. Sur ces trois tests, un seul — la précession du périhélie de Mercure — était connu avant la publication finale par Einstein de la relativité générale en 1916[30]. Cependant, des expériences et des observations montrent que la description par Einstein rend compte de quelques effets inexpliqués par la loi de Newton, telles que des anomalies minimes sur l'orbite de Mercure, et d'autres planètes. Cependant, à partir de 1998, un ensemble de preuves astronomiques s'est accumulé pour montrer que, contrairement au modèle sans terme cosmologique, où l'expansion de l'univers se ralentit, cette expansion est actuellement en voie de s'accélérer. Les tenseurs prennent des formes diff�rentes selon qu�ils sont associ�s � la forme covariante ou � la forme contravariante des vecteurs consid�r�s. Mais en 1907, le mathématicien Hermann Minkowski introduit une formulation de la relativité restreinte d'Einstein, dans laquelle la géométrie comprend non seulement l'espace mais aussi le temps. De la même manière, pour une surface, l'absence ou la présence de courbure détermine si la surface est équivalente à un plan. c Contrairement aux coordonnées cartésiennes sur le plan, des différences de coordonnées ne correspondent pas simplement à des distances sur la surface, comme le montre le diagramme de droite : pour quelqu'un situé à l'équateur, se déplacer de 30° de longitude ouest (ligne rose foncé) correspond à 3 333 km, tandis que pour quelqu'un situé à 49° nord (en gros la latitude de Paris), se déplacer de 30° de longitude sur un parallèle (ligne bleue), à latitude constante, ne correspond qu'à 2 187 km. Plusieurs propriétés font des trous noirs les sources les plus prometteuses d'ondes gravitationnelles. Dans ce genre d'espace courbe, on ne peut plus parler de lignes d'univers droites mais de géodésiques, c'est-à-dire de lignes qui sont « le moins courbes possible ». Soit un vecteur de cet espace. Une application particulièrement intéressante est l'observation à grand champ, où les masses formant la lentille sont réparties sur une fraction significative de l'univers observable, ce qui peut être utilisé pour obtenir des informations concernant les propriétés à grande échelle et l'évolution de notre cosmos[37]. Ceci permet de d�terminer la valeur des symboles de Christoffel � partir des composants de la m�trique : La formule g�n�rale de la d�riv�e covariante s��crit de la mani�re suivante : Notons que, par d�finition, la d�riv�e covariante du tenseur m�trique est nulle : Comme nous l�avons indiqu� plus haut, elle s�obtient en recherchant la courbe de longueur minimum entre deux points. Les objets tombent sur le plancher parce que la cabine repose sur la Terre et que ces objets sont attirés par la gravitation ; Les objets tombent sur le plancher parce que la cabine est emportée par une fusée dans l'espace qui accélère à 9,81 m/s, les forces fictives sont toujours proportionnelles à la, la force ressentie par un objet dans un champ de gravitation est toujours proportionnelle à sa.
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